Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．

（1）填空：AC＝_____；∠F＝______．

（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．

（3）△EAF面积的最小值是____．

（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围_____．

Answer 1

【答案】（1）2，30°；（2）见解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）利用∠B的正切值可求出AC的长；根据直角三角形两锐角互余的关系即可求出∠F的度数；

（2）根据垂直平分线的性质可得AB=AE，利用ASA即可证明△ABC≌△EAF；

（3）由∠EAF=60°，∠AEF=90°可得EF＝AE，进而可得AE⊥BC时△EAF面积最小，利用∠B的正弦可求出AE的值，进而可求出△EAF的面积；

（4）如图，当△EAF的内心在AC边上时，设内心为N，根据内心的定义可知∠EAC=30°，可求出∠BAE=60°，可证明△BAE是等边三角形，可求出AE=AB=2，由（1）可知AC=2，即可得出AE的取值范围．

（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝，

∴AC＝ABtanB＝2tan60°＝2；

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∵∠EAF＝∠B＝60°，

∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．

故答案为：2，30°；

（2）当BD＝DE时，

∵AD⊥BC于D，

∴AB＝AE，

∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，

∴∠AEF＝∠BAC，

在△ABC和△EAF中，，

∴△ABC≌△EAF（ASA）；

（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝，

∴EF＝AEtan∠EAF＝AEtan60°＝AE，

∴S△EAF＝AEEF＝AE×AE＝AE2，

当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝，

∴AE＝ABsinB＝2sin60°＝2×＝，

S△EAF＝AE2＝×3＝，

∴△EAF面积的最小值是，

故答案为：；

（4）设△EAF的内心为N，

∵∠AEF=45°，∠B=30°，E为BC上的一点，不与B、C重合，

∴EN与AC一定有交点，

如图：当△EAF内心恰好落在AC上时，连接EN，

∵N是△EAF的内心，

∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，

∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，

∵∠B＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝AB＝2，

∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2，

∴当△EAF的内心在△ABC的外部时，．

故答案为：．