Question

【题目】已知二次函数L与y轴交于点C(0，3)，且过点(1，0)，(3，0)．

(1)求二次函数L的解析式及顶点H的坐标

(2)已知x轴上的某点M(t，0)；若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；试说明四边形CHC′H′为平行四边形．

(3)若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时，称这种平行四边形为“和谐四边形”；在(2)的条件下，当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） y=x2﹣4x+3，(2,﹣1)；（2）见解析；（3） t=或4或﹣6

【解析】

（1）利用待定系数法可求解析式，由配方法可求顶点坐标；

（2）由中心对称的性质可得CM=C'M，HM=H'M，可得结论；

（3）分四种情况讨论，由两点距离公式和一次函数的性质可求解．

（1）设二次函数L的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)

由题意可得：

解得：

∴二次函数L的解析式为：y=x2﹣4x+3，

∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1，

∴顶点H的坐标(2,﹣1)

故答案为：y=x2﹣4x+3，(2,﹣1)

（2）

∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；

∴CM=C'M，HM=H'M，

∴四边形CHC′H′为平行四边形；

（3）∵点C(0,3)，点H(2,﹣1)

∴直线CH解析式为：y=﹣2x+3；

若CC'⊥CH时，则CC'解析式为：

当y=0时，

∴t=﹣6；

若HH'⊥CH时，则HH'解析式为：

当y=0时，

∴t=4

∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；

∴点C'(2t，﹣3)，点H'(2t﹣2，1)

若CH'⊥HH'，则H'C2+H'H2=CH2，

∴(2t﹣2﹣0)2+(3﹣1)2+(2t﹣2﹣2)2+(1+1)2=(0﹣2)2+(3+1)2，

∴t=

若CC'⊥CH'，则H'C2+C'C2=C'H'2，

∴(2t﹣2﹣0)2+(3﹣1)2+(2t﹣0)2+(3+3)2=(0﹣2)2+(3+1)2，

∴△＜0，方程无解；

综上所述：t=或4或﹣6．

故答案为：t=或4或﹣6．