Question

【题目】在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交ABCD的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，四边形EGFH的形状是___；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是___；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是___；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，四边形EGFH的形状是___．

Answer 1

【答案】平行四边形菱形菱形正方形

【解析】

（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；
（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；
（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

（1）四边形EGFH是平行四边形；

∵ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴点O是ABCD的对称中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形；

（3）菱形；

由（2）知四边形EGFH是菱形，

当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；

（4）四边形EGFH是正方形；

证明：∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（3）知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形．

故答案为：(1). 平行四边形 (2). 菱形 (3). 菱形 (4). 正方形