Question

9．如图，△ABC的两条高AD、BF交于E，连EC，∠AEB=105°，∠ABC=45°．
（1）求∠DEC的度数；
（2）求证：AB-BE=CE．

Answer 1

分析 （1）首先证明△BDE≌△ADC，推出DE=EC，延长即可解决问题．
（2）如图2中，延长EF到M使得FM=EF．只要证明△ECM是等边三角形，BA=BM即可证明．

解答 （1）解：如图1中，

∵△ABC的两条高AD、BF交于E，
∴∠ADB=∠ADC=∠AFE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴BD=AD，
∵∠DBE+∠ACB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DBE=∠DAC，
在△BDE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=45°．

（2）证明：如图2中，延长EF到M使得FM=EF．

∵∠AEB=105°，∴∠AEF=∠BED=75°，
∴∠DBE=∠DAC=15°，
∴∠MEC=∠EBC+∠ECD=60°，
∵AC⊥EM，EF=FM，
∴AE=AM，CE=CM，
∴△ECM是等边三角形，
∴EC=EM，
∴∠AEM=∠AMB=75°，∠FAE=∠FAM=15°，
∴∠BAM=∠BAD+∠DAM=75°，
∴∠BAM=∠BMA，
∴BA=BM，
∴AB=BE+EM=BE+EC，
∴AB-BE=EC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．