Question

4．已知抛物线y=ax²+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4，-5），它与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点，且方程ax²+bx+c=0的两根的平方和等于40
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S_△PAB=2S_△CAB？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点（-4，-5），点C（0，3），方程ax²+bx+c=0的两根的平方和等于40，代入抛物线y=ax²+bx+c求出a、b、c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）不存在，设出P（a，-$\frac{1}{4}$a²+a+3），根据S_△PAB=2S_△CAB，得到P到直线AB的距离为C到直线AB距离的2倍，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．

解答 解：（1）将C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：c=3，即抛物线解析式为y=ax²+bx+3，
∵抛物线经过点（-4，-5），方程ax²+bx+c=0的两根的平方和等于40，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=-5}\\{（-\frac{b}{a}）^{2}-2×\frac{3}{a}=40}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$（a为正数舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-\frac{1}{4}}\\{{b}_{2}=1}\end{array}\right.$．
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3；
（2）设P（a，-$\frac{1}{4}$a²+a+3），则-$\frac{1}{4}$a²+a+3=6，即a²-4a+12=0
∵△=16-4×1×12=-32＜0，
∴方程无解．
故不存在点P坐标．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．