Question

13．如图1，⊙O的半径为2$\sqrt{3}$，弦AB=6，点P是圆周上的一动点（不与A，B重合），连结AP，BP．
（1）当点P在优弧APB上时，求∠APB的度数；
（2）如图2，作AC⊥AP交直线BP于点C，当△ABC为等腰三角形时，求∠ABP的度数．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角三角形，根据垂径定理得：BD=$\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理得OD的长，发现是斜边的一半，所以它所对的锐角是30°，根据半径相等和等边对等角得：∠OAB=∠DBO=30°，所以∠AOB=120°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半得结论；
（2）当△ABC为等腰三角形时，只有一种情况成立，就是AB=BC，根据等边对等角可知：∠C=∠BAC，由（1）得：∠APB=60°，得∠C=30°，根据外角定理可以得出∠ABP的度数．

解答 解：（1）如图1，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，
∵AB=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠DBO=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠DBO=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；
（2）如图2，当△ABC为等腰三角形时，
∴AB=BC，
∴∠C=∠BAC，
由（1）得：∠APB=60°，
∵AP⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∴∠C=30°，
∴∠ABP=∠C+∠BAC=60°．

点评 本题考查了等腰三角形和圆周角定理，是常考题型；等腰三角形中要熟练掌握等边对等角，等角对等边；在圆中常连接半径，过圆心作弦的垂线构建直角三角形利用垂径定理和勾股定理求边长，同时对于角的关系要知道：同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半．