Question

【题目】如图，抛物线y= x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1，0)，C(0，2)．

(1)求抛物线的表达式；

(2) 请你在抛物线的对称轴上找点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，所有符合条件的点P的坐标分别为 ；

(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF的面积最大=，E（2，1）

【解析】

（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；

（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；

（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=4EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．

（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

∴解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线，则D（，0），

∴，

如图1，

当CP=CD时，则P1（，4）；

当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），

综上所述，满足条件的P点坐标为P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，

设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．