Question

【题目】如图，是的直径，点，是上两点，且，连接，，过点作交延长线于点，垂足为．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）圆O 的半径为8

【解析】

（1）连结OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得 AB=2BC=8，从而求出⊙O的半径．

解：（1）证明：连结OC，如图

∵弧FC=弧BC

∴∠FAC=∠BAC,

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，∴0C // AF，

∵CD⊥AF，∴0C⊥CD，

∴CD是圆O的切线；

（2）连结BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，∵，

∴∠BOC= ×180°=60°，∴∠BAC=30，

∴∠DAC=30，在RtΔADC中，CD=，

∴AC=2CD=，在RtΔACB中,BC=AC==8,

∴AB=2BC=16,∴圆O 的半径为8．