Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG=AC，求点F的坐标；

（3）E(0,﹣2)，连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E的对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)；B(1，0)；C(0，3)；（2）F点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3)或(，)或(，)；（3）(，)．

【解析】

（1）对于抛物线分别令x=0，y=0即可求解；
（2）先求出AC的解析式，由题意可知FG=2，设F（m，-m2-2m+3），则G（m，m+3），则有|-m2-2m+3-（m+3）|=2，解方程即可；
（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与互相垂直且相等．设（t，-t2-2t+3），则（t+2，-t2-2t+3-1）．因为在抛物线上，则有-（t+2）2-2（t+2）+3=-t2-2t+3-1，解方程即可．

（1）对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，

令x=0得y=3，

∴C(0，3)，

令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0解得x=﹣3或1，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3)．

（2）如图1中，

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，

∴AC=3，FG=AC=2，

设F(m，﹣m2﹣2m+3)，则G(m，m+3)，

则|﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)|=2，

解得m=﹣1或﹣2或或，

则F点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3)或(，)或(，)．

（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与B’E’互相垂直且相等．

设B′(t，﹣t2﹣2t+3)，则E′(t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1)，

∵E′在抛物线上，则﹣(t+2)2﹣2(t+2)+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，

解得：t=，则B′的坐标为(，)．