Question

10．如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E．
（1）求∠DEA的度数；
（2）若BD=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAO与∠DAO的度数，即可解决问题．
（2）在RT△BCD求出BC，再证明AD=AE，即可利用BE=BD-DE解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠BDC=∠DAC=∠BAC=45°，∠BCD=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∠DAE=∠DAC+∠CAE=67.5°，
（2）∵∠DAE=67.5°，∠ADE=45°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴DA=DE
在RT△BCD中，∵BD=2，设BC=CD=a，
∴a²+a²=2²，
∴a²=2，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴AD=DE=BC=CD=$\sqrt{2}$，
∴BE=BD-DE=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是求出∠DAE与∠DEA的度数，属于中考常考题型．