Question

【题目】反比例函数y= （x＞0）的图像经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= （x＞0）的图像恰好经过DC的中点E．

（1）求k的值和直线AE的函数表达式；
（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= ，

∴AB=3，

∴A点的坐标为（2，3），

∴k=xy=6，

∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，

∴点E的纵坐标为 ，

又∵点E在y= （x＞0）的图像上，

∴点E的坐标为（4， ），

设直线MN的函数表达式为y=k1x+b，

则 ，

解得 ，

∴直线MN的函数表达式为y=﹣ x+

（2）

解：结论：AN=ME，

理由：在表达式y=﹣ x+ 中，

令y=0可得x=6，令x=0可得y= ，

∴点M（6，0），N（0， ），

延长DA交y轴于点F，

则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON﹣OF=x，∵CM=6﹣4=2=AF，EC= =NF，

在△ANF与△MEC中， ，

∴△ANF≌△MEC，

∴AN=ME．

【解析】（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= ，求得AB=3，代入y= 得到k=xy=6，根据已知条件得到点E的纵坐标为 ，由点E在双曲线y= （x＞0）的图像上，得到点E的坐标为（4， ），解方程组即可得到结论；（2）根据y=﹣ x+ 求得点M（6，0），N（0， ），延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的图象和反比例函数的性质，掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大即可以解答此题．