Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C不重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．

（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）

（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；

（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1800-2α．（2）1；（3）S=

【解析】

试题分析：（1）首先在Rt△ABC中，判断出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α；然后根据翻折的性质，可得∠EFB=∠EBF；最后根据三角形外角的性质，可得∠AEF=∠EFB+∠EBF，据此解答即可．

（2）当点F与点C重合时，BD=CD时，判断出AC∥ED，即可判断出AE=BE；然后根据三角形中位线定理，求出线段DE的长度是多少即可．

（3）根据题意，分两种情况：①当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时；②当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时；然后分类讨论，求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围即可．

试题解析：（1）如图①，

，

在Rt△ABC中，

∠ABC=90°-∠BAC=90°-α，

∵将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点，

∴∠EFB=∠EBF，

∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2（900-∠BAC）=1800-2α．

（2）如图②，

，

当点F与点C重合时，BD=CD时，

∵ED⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥ED，

∴AE=BE，

∴DE=AC=×2=1．

（3）当点F与点C重合时，

BD=CD=BC=×4=2．

①如图③，

，

当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时，重叠部分是△EDF．

∵AC∥ED，

∴△ABC∽△EDB，

∴，

即，

∴ED=，

∴S△EDF=×ED×DF=××x=x2，（0＜x≤2）．

②如图④，

，

当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时，

设EF与AC相交于点M，

则重叠部分是四边形EDCM．

∴FC=FD-CD=x-（4-x）=2x-4

∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF，

∴△ABC∽△MFC，

∴，

即，

∴MC=x-2，

∴S四边形EDCF=S△EDF-S△EDF

=×x×-×（x-2）×（2x-4）

=-x2+4x-4，（2＜x＜4）．

综上，可得

S=