Question

【题目】已知下面四个图形中，AB∥CD，探究四个图形中，∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系.

（1）图①中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系是__________________；

（2）图②中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系是__________________；

（3）请你在图③和图④中任选一个，说明∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，并加以证明

Answer 1

【答案】 ∠APC = ∠PAB+∠PCD； ∠APC +∠PAB+∠PCD = 360°

【解析】分析：(1)、过点P作PE∥AB，根据平行公理可得AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，然后根据∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；(2)、过点P作PE∥AB，根据平行公理可得AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，然根据∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；(3)、图（3）过点P作PM∥AB，根据平行公理可得AB∥PM∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，然根据∠APC=∠CPM－∠APM整理即可．

详解：（1）∠APC = ∠PAB+∠PCD； （2）∠APC +∠PAB+∠PCD = 360°；

（3）如图∠PAB =∠PCD+∠APC ，

理由是：过点P作PM∥AB， ∵PM∥AB， ∴AB∥CD ， ∴PM∥CD，

∴∠BAP+∠MPA= 180°，∠PCD+∠APC+∠MPA= 180°, ∴∠BAP = ∠PCD+∠APC．