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【题目】已知关于x的方程x2﹣(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1 , x2
(1)求k的取值范围;
(2)若两不相等的实数根满足x1x2﹣x12﹣x22=﹣9,求实数k的值.

【答案】
(1)解:由已知可得,△=[﹣(2k+3)]2﹣41k2=12k+9>0

∴k>﹣


(2)解:由已知可得x1+x2=2k+3,x1x2=k2

∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣9,

∴x1x2﹣[(x1+x22﹣2x1x2]=﹣9,

即3x1x2﹣(x1+x22=﹣9,

∴3k2﹣(2k+3)2=﹣9,

整理得k2+12k=0,解得k1=0,k2=﹣12,

又k>﹣

∴k=0.


【解析】(1)根据判别式的意义得到△=[﹣(2k+3)]2﹣41k2=12k+9>0,然后解不等式即可;(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+3,x1x2=k2 , 再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣9变形为即3x1x2﹣(x1+x22=﹣9,则3k2﹣(2k+3)2=﹣9,然后解关于k的方程,最后利用k的范围确定满足条件的k的值.
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系,需要了解根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案.

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