Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°得Rt△A′B′C′，求AB′的长度．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：分①旋转后A′C在△ABC外部，根据旋转的性质可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，求出∠ACB′=30°，过点A作AD⊥B′C于D，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，再利用勾股定理列式求出CD，然后求出B′D，再利用勾股定理列式计算即可得解；②旋转后A′C在△ABC内部，根据旋转的性质可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，求出∠ACB′=150°，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于E，求出∠B′CE=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出B′E，再利用勾股定理列式求出CE，然后求出AE，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：①旋转后A′C在△ABC外部时，如图1，
由旋转的性质得，B′C′=BC，∠BCB′=60°，
所以，∠ACB′=90°-60°=30°，
过点A作AD⊥B′C于D，则AD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，CD=

AC2-AD2

=

22-12

=

3

，
所以，B′D=2-

3

，
在Rt△AB′D中，AB′=

12+(2- 3 )2

=

8-4 3

=

( 6 - 2 )2

=

6

-

2

；
②旋转后A′C在△ABC内部时，如图2，
由旋转的性质可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，
所以，∠ACB′=90°+60°=150°，
过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于E，
则∠B′CE=180°-150°=30°，
所以，B′E=

1

2

B′C′=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，CE=

22-12

=

3

，
所以，AE=2+

3

，
在Rt△AB′E中，由勾股定理得AB′=

12+(2+ 3 )2

=

8+4 3

=

( 6 + 2 )2

=

6

+

2

，
综上所述，AB′的长度为

6

-

2

或

6

+

2

．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．