【题目】如图,为的直径,,为上一点,过点作的弦,设.
(1)若时,求、的度数各是多少?
(2)当时,是否存在正实数,使弦最短?如果存在,求出的值,如果不存在,说明理由;
(3)在(1)的条件下,且,求弦的长.
【答案】(1), ;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)连结AD、BD,利用m求出角的关系进而求出∠BCD、∠ACD的度数;
(2)连结,由所给关系式结合直径求出AP,OP,根据弦CD最短,求出∠BCD、∠ACD的度数,即可求出m的值.
(3)连结AD、BD,先求出AD,BD,AP,BP的长度,利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例关系式,得出比例关系式结合勾股定理求出CP,PD,即可求出CD.
解:(1)如图1,连结、.
是的直径
,
又,
,
(2)如图2,连结.
,,
,则,
解得
要使最短,则于
,
,
,
故存在这样的值,且;
(3)如图3,连结、.
由(1)可得,
,,
,
,,
,
,
①,
②
同理
,
③,
由①得,由③得
,
在中,,
,
由②,得,
.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,经几秒钟△PBQ与△ABC相似?试说明理由.
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【题目】小张同学尝试运用课堂上学到的方法,自主研究函数y=的图象与性质.下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题,现由你来完成:
(1)函数y=自变量的取值范围是 ;
(2)下表列出了y与x的几组对应值:
x | … | ﹣2 | ﹣ | m | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | … | |||
y | … | 1 | 4 | 4 | 1 | … |
表中m的值是 ;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出以表中各组对应值为坐标的点,试由描出的点画出该函数的图象;
(4)结合函数y=的图象,写出这个函数的性质: .(只需写一个)
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【题目】如图,在中,.点是中点,点为边上一点,连接,以为边在的左侧作等边三角形,连接.
(1)的形状为______;
(2)随着点位置的变化,的度数是否变化?并结合图说明你的理由;
(3)当点落在边上时,若,请直接写出的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是 .
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【题目】已知:如图,梯形ABCD,DC∥AB,对角线AC平分∠BCD,点E在边CB的延长线上,EA⊥AC,垂足为点A.
(1)求证:B是EC的中点;
(2)分别延长CD、EA相交于点F,若AC2=DCEC,求证:AD:AF=AC:FC.
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【题目】上海首条中运量公交线路71路已正式开通.该线路西起沪青平公路申昆路,东至延安东路中山东一路,全长17.5千米.71路车行驶于专设的公交车道,又配以专用的公交信号灯.经测试,早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米,因此单程可节省时间22.5分钟.求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速.
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【题目】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点.
(1)求∠ABO的正切值;
(2)如果点A向左平移12个单位到点C,直线l过点C且与直线平行,求直线l的解析式.
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【题目】我们给出如下定义:两个图形和,在上的任意一点引出两条垂直的射线与相交于点、,如果,我们就称、为点的垂等点,、为点的垂等线段,点为垂等射点.
(1)如图1,在平面直角坐标系中,点为轴上的垂等射点,过作轴的平行线,则直线上的为点的垂等点的是_______;
(2)如果一次函数图象过,点为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点也在此一次函数图象上,在图2中画出示意图并写出一次函数表达式;
(3)如图3,以点为圆心,1为半径作,垂等射点在上,垂等点在经过(3,0),(0,3)的直线上,如果关于点的垂等线段始终存在,求垂等线段长的取值范围(画出图形直接写出答案即可).
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