Question

【题目】已知：如图，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．

（1）求证：B是EC的中点；

（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2=DCEC，求证：AD：AF=AC：FC．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC，进而可得出BA=BC，根据等角的余角相等结合等角对等边，即可得出AB=BE，进而可得出BE=BA=BC，此题得证；

（2）根据AC2=DCEC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根据相似三角形的性质可得出∠ADC=∠EAC=90°，进而可得出∠FDA=∠FAC=90°，结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA，再利用相似三角形的性质可证出AD：AF=AC：FC．

（1）∵DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC．

∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，∴BA=BC．

∵∠BAC+∠BAE=90°，∠ACB+∠E =90°，∴∠BAE=∠E，∴AB=BE，∴BE=BA=BC，∴B是EC的中点；

（2）∵AC2=DCEC，∴．

∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA，∴∠ADC=∠EAC=90°，∴∠FDA=∠FAC=90°．

又∵∠AFD=∠CFA，∴△AFD∽△CFA，∴AD：AF=AC：FC．