Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；

（2）联结AB，求∠B的正切值；

（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】(1)，E(2,0);(2)3;(3) M点的坐标为（5，0）或（7，0）

【解析】

（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求出B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求出E的坐标

（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求出答案

（3）设M（x,0），当∠GCM=∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求的M点的坐标；当∠CMG=∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标

（1）∵抛物线对称轴为x＝1，

∴，解得，

把A点坐标代入可得，解得，

∴抛物线表达式为，

∵，

∴B（1，﹣2），

把C（5，m）代入抛物线解析式可得，

∴C（5，6），

设直线BC解析式为y＝kx+b，

把B、C坐标代入可得，解得，

∴直线BC解析式为y＝2x﹣4，

令y＝2可得2x﹣4＝0，解得x＝2，

∴E（2，0）；

（2）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（5，6），

∴，

∴AB2+AC2＝8+72＝80＝BC2，

∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴；

（3）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），

∴∠CAE＝∠BAE＝45°，

∵GM⊥BC，

∴∠CGM+∠GCB＝∠GCB+∠ABC＝90°，

∴∠CGM＝∠ABC，

∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，

设M（x，0），则C（x，2x﹣4），

①当∠GCM＝∠BAE＝45°时，则∠AMC＝90°，

∴MC＝AM，即2x﹣4＝x+1，解得x＝5，

∴M（5，0）；

②当∠GMC＝∠BAE＝∠MAC＝45°时，

∵∠MEC＝∠AEB＝∠MCG，

∴△MEC∽△MCA，

∴，即，

∴MC2＝（x﹣2）（x+1），

∵C（5，6），

∴MC2＝（x﹣5）2+62＝x2﹣10x+61，

∴（x﹣2）（x+1）＝x2﹣10x+61，解得x＝7，

∴M（7，0）；

综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．