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【题目】如图,正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,∠BAC的平分线交BDE,交BCFBHAFH,交ACG,交CDP,连接GEGF,以下结论:①△OAE≌△OBG;②四边形BEGF是菱形;③BECG;④1;⑤SPBCSAFC12,其中正确的有(  )个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

根据AF是∠BAC的平分线,BHAF,可证AFBG的垂直平分线,然后再根据正方形内角及角平分线进行角度转换证明EGEBFGFB,即可判定选项;设OAOBOCa,菱形BEGF的边长为b,由四边形BEGF是菱形转换得到CFGFBF,由四边形ABCD是正方形和角度转换证明△OAE≌△OBG,即可判定;则△GOE是等腰直角三角形,得到GEOG,整理得出ab的关系式,再由△PGC∽△BGA,得到1+,从而判断得出④;得出∠EAB=∠GBC从而证明△EAB≌△GBC,即可判定;证明△FAB≌△PBC得到BFCP,即可求出,从而判断⑤.

解:∵AF是∠BAC的平分线,

∴∠GAH=∠BAH

BHAF

∴∠AHG=∠AHB90°

AHGAHB

∴△AHG≌△AHBASA),

GHBH

AF是线段BG的垂直平分线,

EGEBFGFB

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAF=∠CAF×45°22.5°,∠ABE45°,∠ABF90°

∴∠BEF=∠BAF+ABE67.5°,∠BFE90°﹣∠BAF67.5°

∴∠BEF=∠BFE

EBFB

EGEBFBFG

∴四边形BEGF是菱形;②正确;

OAOBOCa,菱形BEGF的边长为b

∵四边形BEGF是菱形,

GFOB

∴∠CGF=∠COB90°

∴∠GFC=∠GCF45°

CGGFb,∠CGF90°

CFGFBF

∵四边形ABCD是正方形,

OAOB,∠AOE=∠BOG90°

BHAF

∴∠GAH+AGH90°=∠OBG+AGH

∴∠OAE=∠OBG

OAEOBG

∴△OAE≌△OBGASA),①正确;

OGOEab

∴△GOE是等腰直角三角形,

GEOG

bab),

整理得ab

AC2a=(2+bAGACCG=(1+b

∵四边形ABCD是正方形,

PCAB

1+

∵△OAE≌△OBG

AEBG

1+

1,④正确;

∵∠OAE=∠OBG,∠CAB=∠DBC45°

∴∠EAB=∠GBC

EABGBC

∴△EAB≌△GBCASA),

BECG,③正确;

FABPBC

∴△FAB≌△PBCASA),

BFCP

,⑤错误;

综上所述,正确的有4个,

故选:C

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