Question

【题目】如图，是的直径，弦，

（1）求证：是等边三角形．

（2）若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若，求线段的长；

（3）若的半径为4，点是弦的中点，点是直线上的任意一点，将点绕点逆时针旋转60°得点，求线段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用垂径定理的推论证明AB垂直平分DC，得到AD=AC，再证明∠DAC=60°即可推出△ACD是等边三角形；

（2）连接OC，OE，先证明∠OCF=90°，再求出半径OC的长．在Rt△OCF中通过勾股定理即可求出OF的长；

（3）先判断点P'的轨迹是直线DB，过点Q作QP'⊥DB于点P'，则QP'的值最小，连接DQ，再求出DQ的长度．解Rt△QDP'即可得出结论．

（1）如图1．

设AB与DC交点为H．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴DH=CH，，，∴AD=AC，∠CAB=∠DAB=30°，∴∠DAC=60°，∴△ACD是等边三角形；

（2）如图2，连接OC，OE．

∵△ACD是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°．

∵∠CAB=30°，∴∠HOC=60°．

∵E为中点，∴，∴∠EOC=∠EOA120°=60°，∴∠EAC∠EOC=30°．在Rt△ACF中，∵CF=2，∠EAC=30°，∴AC=4，∠ACF=60°，∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°，∴DC=AC=4，∴CHDC=2．在Rt△OHC中，∵∠HOC=60°，∠OCH=30°，∴OC=2．在Rt△OCF中，OF；

（3）如图3，随着点P的运动，点P'的轨迹为直线DB，过点Q作QP'⊥DB于点P'，则QP'的值最小，连接DQ．

∵Q为AC中点，∴AQ=CQAC，∠ADQ=∠CDQ∠ADC=30°，∴∠OCH=30°．在Rt△OCH中，OC=4，∴HC=42，∴DC=4．在Rt△DCQ中，∠DCQ=60°，∴DQ=46．在Rt△QDP'中，∠QDP'=90°﹣∠ADQ=60°，∴QP'=63．