Question

设n为自然数，试求一个二次方程，它的两个解是二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解的整数部分（所谓一个实数的整数部分，是指不超过此实数的最大整数）．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：计算题

分析：先求出二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解，根据n为自然数，再分四种情况分别求出两个实数解的整数部分，即可得出二次方程．

解答：解：∵二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解是x=

-2(n+1)± [2(n+1)]2-4×(6n-5)

2

=-（n+1）±

(n-2)2+2

，
又∵n为自然数，
∴（1）当n=0时，x=-1±

6

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解的整数部分是-3和1，新方程为：（x+3）（x-1）=0；
（2）当n=1时，x=-2±

3

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解的整数部分是3和0，新方程为：（x-3）x=0；
（3）当n=2时，x=-3±

2

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解的整数部分是-4和1，新方程为：（x+4）（x-1）=0；
（4）当n≥3时，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的两个实数解的整数部分是-n+1和n-3，新方程为：（x+n-1）（x-n+3）=0；

点评：此题考查了一元二次方程的整数根与有理数，解答此题时需要注意分类讨论，关键是求出实数解得整数部分．