Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )

A. ∠D的度数为α

B. a∶b＝CD∶BC

C. 若α＝60，则平行四边形ABCD的周长为

D. 若α＝60，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半

Answer 1

【答案】D

【解析】

A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；

C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b， 根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积 公式分别求得S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.

解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠α+∠C=180°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C+∠D=180°，

∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；

B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，

∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，

∵ AE＝a，AF＝b，

∴BC·a=CD·b，

即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；

C.由A知∠D=∠α，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，

∴∠B=∠D=60°，

∵AE⊥BC ，

∴∠AEC=90°，

∴∠BAE=30°，

在Rt△ABE中，

∵AE＝a ，

∴BE=AB，AB2=BE2+AE2 ，

即AB2=（AB）2+a2 ，

解得：AB=a，

∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，

∴∠DAF=30°，

在Rt△ADF中，

∵AF＝b ，

∴DF=AD，AD2=DF2+AF2 ，

即AD2=（AD）2+b2 ，

解得：AD=b，

∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），

故正确，C不符合题意；

D.由C知AB=a，AD=b，

∴BE=a，DF=b，

∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2 ，

S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2 ，

∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，

∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF ，

=ab-a2-b2 ，

故错误，D符合题意；

故答案为：D.