Question

2．已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F两点分别在边AB，BC上运动，△BEF沿EF折叠后为△GEF，
（1）若BF=a，则线段AG的最小值为$\sqrt{{a}^{2}+9}$-a．（用含a的代数式表示）
（2）问：在E、F运动过程中，取a=4 时，AG有最小值，值为1．

Answer 1

分析 （1）如图，当点G对角线AC上时，AG有最小值，由翻折的性质可得GF=GC=BC=BF=a，由勾股定理得即可得到结论；
（2）把CG=BF=4时，代入$\sqrt{{a}^{2}+9}$-a可得结果．

解答 解：（1）如图，当点G对角线AC上时，AG有最小值，
由翻折的性质可得GF=GC=BC=BF=a，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{B{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+9}$，
∴AG=AC-GC=$\sqrt{{a}^{2}+9}$-a，
故答案为：$\sqrt{{a}^{2}+9}$-a．

（2）当CG=BF=4时，
即a=4时，AG 的最小值=$\sqrt{{a}^{2}+9}$-a=5-4=1，
故答案为：a=4时 AG=1．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，本题判断出符合要求的点B′的位置是解题的关键，也是难点．