Question

12．如图，在矩形ABCD中，BP是角平分线，E是CD上一点，将△ADE沿AE翻折，使D落在BP上，AD=5，CD=7，求DE的长度．

Answer 1

分析 过点D′作MN∥AD．首先证明D′M=MB，AD′=AD，然后在△AMD′中利用勾股定可求得AM的长，最后在RtEND′中利用勾股定理可求得DE的长．

解答 解：过点D′作MN∥AD．

∵AD∥MN，
∴∠DAM=∠AMN=90°，∠ADN=∠DNM=90°．
∵PB平分∠ABC，
∴∠D′BM=45°．
∴∠MD′B=∠D′BM=45°．
∴D′M=MB．
设AM=x，则D′M=7-x．
由翻折的性质可知：AD′=AD=5．
在Rt△AMD′中，AD′²=AM²+D′M²，即x²+（7-x）²=5²．
解得：x₁=3，x₂=4（点E位于点P的右边与图形不符，应舍去）．
∴AM=3．
∴CN=4．
∴DN=3，D′N=1．
由翻折的性质可知：DE=D′E．
设DE=y，则D′E=y，EN=3-y．
在Rt△END′中，ED²=EN²+ND′²，即y²=（3-y）²+1²．
解得：y=$\frac{5}{3}$．
∴DE=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质和判断，利用勾股定理列出关于x、y的方程是解题的关键．