Question

20．如图，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E
（1）求∠ABD的度数；
（2）当BC=$\sqrt{2}$时，求线段AE，AD与$\widehat{DE}$围成阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠BCD的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠ABD的度数；
（2）过点D作DF⊥AB与F，在RT△BDF中和RT△BDF中分别求出DF、BF、AF的长，即可知AB的长，最后根据S_阴影=S_△ABD-S_扇形BDE列式可求得．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°；
（2）过点D作DF⊥AB与F，

在RT△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=$\sqrt{2}$，
∴BF=DF=BDsin45°=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
在RT△BDF中，∠A=30°，
∴AD=2DF=2，AF=$\sqrt{3}$，
∴AB=AF+BF=$\sqrt{3}$+1，
∴S_阴影=S_△ABD-S_扇形BDE
=$\frac{1}{2}$AB•DF-$\frac{45}{360}•π•（\sqrt{2}）^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查对等腰三角形的性质和扇形面积等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后利用割补法可求阴影部分面积．