Question

已知关于x的一元二次方程x² =2（1－m）x－m² 的两实数根为x₁，x₂．

1.求m的取值范围

2.设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

 

Answer 1

 

1.∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的两实数根

∴x²－2（1－m）x+m² ＝0 

∵△=b²-4ac＝[2（1-m）]²-4m²=4 -8m≥0，………………………3分

∴m≤          …………………………………………………5分

2.∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m²，

∴x₁+x₂=2-2m，…………………………………………………7分

∴y=x₁+x₂=2(1-m)…………………………………9分

∵此二次函数图象开口向上，y有最小值，

∴当m=时，y有最小值y= -2m+2=1………10分

解析:（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．