Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式和C点坐标；
（2）设该抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在该抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

解：（1）A（-1，0）、B（3，0）两点代入抛物线解析式y=x²+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3，
令x=0，
即y=3，
∴C（0，-3）；

（2）如图1，∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM．
则△AOC的面积=，△MOC的面积=，
△MOB的面积=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

（3）如图2，设D（m，m²-2m-3），连接OD．
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，
△DOB的面积=-（m²-2m-3），
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-m²+m+6
=-（m-）²+．
∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．

（4）有两种情况：
如图3，过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C．
∵CO=BO=3，
，∴∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴点E的坐标为（0，3）．
将（0，3），（3，0）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线BE的解析式为y=-x+3，
由
解得，，
∴点Q₁的坐标为（-2，5）．
如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴点F的坐标为（-3，0）．
∴直线CF的解析式为y=-x-3．
由，
解得，，
∴点Q₂的坐标为（1，-4）．
综上，在抛物线上存在点Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．
分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入抛物线解析式可得b，c的值，令x=0，可得C点的坐标；
（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成3个三角形，求它们的面积和；
（3）设D（m，m²-2m-3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；
（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求直线的解析式和二次函数最值问题以及四边形面积求法等知识，解题的关键是利用直线解析式组成方程组求出Q的坐标．