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【题目】如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,在(1)的结论下,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?
(3)如图3,在(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系? (2、3小题只需选一题说明理由)

【答案】
(1)解:∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,

∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,

∵∠EAC+∠ACE=90°,

∴∠BAC+∠ACD=180°,

∴AB∥CD;


(2)∠BAE+ ∠MCD=90°;

过E作EF∥AB,

∵AB∥CD,

∴EF∥AB∥CD,

∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,

∵∠E=90°,

∴∠BAE+∠ECD=90°,

∵∠MCE=∠ECD,

∴∠BAE+ ∠MCD=90°;


(3)∵AB∥CD,

∴∠BAC+∠ACD=180°,

∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,

∴∠BAC=∠PQC+∠QPC.


【解析】(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180,故可得出结论;(2)过E作EF∥AB,根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD,∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,故∠BAE+∠ECD=90°,再由∠MCE=∠ECD即可得出结论;(3)根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°,∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,故∠BAC=∠PQC+∠QPC.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平行线的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质.

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又∵∠B=∠C(已知),
∴∠=∠B(等量代换).
∴AB∥CD().

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