Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=-2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 当OE∥AC时，由相互平行的两条直线的一次项系数相同，可得到直线OE的解析式，然后将OE和AB的解析式联立，组成方程组从而可求得点E的坐标；
当DE∥OA时，OD∥AB时，先求得OD的解析式，然后联立OD、AC，求得点D的坐标，然后再求得DE的解析式，将DE和AB联立，组成方程组可解得点E的坐标．

解答 解：①如下图：当OE∥AD时，

∵OE∥AC，
所以直线OE的解析式为y=-2x，
联立OE、AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1①}\\{y=-2x②}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
即E₁（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
②如下图：当DE∥OA时，OD∥AB时，

∵OD∥AB，
∴直线OD的解析式为y=x，
联立OD、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
D（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
联立AB、AC得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
A（1，2）．
OA的解析式为y=2x，
∵DE∥OA，
∴设直线DE的解析式为y=2x+b，
将点D的坐标代入直线的解析式得：y=2x-$\frac{4}{3}$
联立DE、AB得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-\frac{4}{3}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
E₂（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{3}$）．
综上所述：E₁（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），E₂（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的性质和平行四边形的性质，掌握相互平行的两条直线的一次项系数相同是解题的关系，解答本题主要应用了分类讨论的思想．