Question

15．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先作出点D关于BC的对称点D′从而可知当点P、M、D′在一条直线上时，路径最短，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG=1，GD′=3，最后由勾股定理即可求得PD′的长，从而可求得MD+MP的最小值．

解答 解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，

由轴对称的性质可知：MD=D′M，CD=CD′=2
∴PM+DM=PM+MD′=PD′
过点P作PE垂直DC，垂足为G，
易证AF⊥BE，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，
∴此时，PD′最短．
∵四边形ABCD为正方形，
∴PG=$\frac{1}{2}AD=1$，GC=$\frac{1}{2}DC=1$．
∴GD′=3．
在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′=$\sqrt{P{G}^{2}+GD{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键．