Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：

（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；

（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）12．

【解析】

（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x6）2＋（x4）2＝102，求出AD＝x＝12．

（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45，

∴∠EAF=90．

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90，∠F=∠ADC=90，

∴四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD，

∴AE=AF，

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．

∵BD=6，DC=4，

∴BE=6，CF=4，

∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，

在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．

化简得：x2﹣10x﹣24=0

解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）

所以AD=x=12．