Question

【题目】已知：如图1，抛物线的顶点为M：平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．

（1）如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；

（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）a＝或﹣；（3）m＝﹣，n＝

【解析】

（1）设点B的坐标为：（m，m），把点B的坐标代入抛物线表达式得：m=m2，即可求解；

（2）①当a＞0时，由（1）得：点B（m，m+4），AB=2m=4，则m=2，则点B（2，6），将点B的坐标代入抛物线表达式y=ax2+4即可求解；②当a＜0时，设点B（m，4-m），同理可得：a=-，即可求解；

（3）y=mx2+2x+n-5的最大值为-1，则抛物线开口向下，即m＜0，设点B（s，-1-s），由mx2+2x+n-5的最大值为-1，则c-=-1，即n-5-…①，“完美三角形”斜边长为n，则2s=n…②，把点B的坐标代入抛物线表达式得：-1-s=ms2+2s+n-5…③，即可求解．

（1）设点B的坐标为：（m，m），

把点B的坐标代入抛物线表达式得：m＝m2，解得：m＝0或1（舍去0），

故点B的坐标为：（1，1），则点A（﹣1，1），

则AB＝2；

（2）①当a＞0时，由（1）得：点B（m，m+4），

AB＝2m＝4，则m＝2，则点B（2，6），

将点B的坐标代入抛物线表达式y＝ax2+4得：

6＝4a+4，解得：a＝；

②当a＜0时，设点B（m，4﹣m），

同理可得：a＝﹣；

综上，a＝或﹣；

（3）y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，则抛物线开口向下，即m＜0，

设点B（s，﹣1﹣s），

由mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，则c﹣＝﹣1，即n﹣5﹣…①，

“完美三角形”斜边长为n，则2s＝n…②，

把点B的坐标代入抛物线表达式得：﹣1﹣s＝ms2+2s+n﹣5…③，

联立①②③并化简得：11s2﹣28s+16＝0，解得：s＝（负值已舍去），

m＝﹣，n＝．