Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan∠CAB＝，AD＝AB，AH⊥BD于点H，连接CD交AH于点E，连接BE，BE＝，则BD的长为_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

过点C作CF⊥AB于F，由三角函数得出tan∠CAB＝，设CF＝4a，AF＝3a，由勾股定理得出AC＝5a，得出BF＝AB﹣AF＝2a，由勾股定理得出BC＝＝2a，得出sin∠CBF＝，证出点BD关于AH对称，AC＝AD，DH＝BH，得出∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，得出∠ACD＝∠ABE，证出A、E、B、C四点共圆，由圆周角定理得出∠ABC＝∠AEC，证出∠CBF＝∠BEH，得出sin∠BEH＝，即可得出答案．

解：过点C作CF⊥AB于F，如图所示：

∴tan∠CAB＝，

设CF＝4a，AF＝3a，

AC＝＝5a，

∵AB＝AC，

∴BF＝AB﹣AF＝5a﹣3a＝2a，

在Rt△BDF中，

BC＝＝2a，

∴sin∠CBF＝，

∵AB＝AD，AH⊥BD，

∴点BD关于AH对称，AC＝AD，DH＝BH，

∴∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，

∴∠ACD＝∠ABE，

∴A、E、B、C四点共圆，

∴∠ABC＝∠AEC，

∵∠AEC＝∠DEH，∠DEH＝∠BEH，

∴∠ABC＝∠BEH，即∠CBF＝∠BEH，

∴sin∠BEH＝，

∵BE＝，

∴，

∴BH＝2，

∴BD＝2BH＝4，

故答案为：4．