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    【题目】在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，若⊙O的半径为4，则△ABC的面积为_____．

    【答案】12或4

    【解析】

    如图（1）和（2），由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出OD的长，进一步求出BD的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．

    解：连接OA交BC于D，连接OC，

    ∵圆O是等腰三角形的外接圆，O是外心，

    ∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝2，有两种情况：

    （1）如图（1）：

    ∵OC＝4，由勾股定理得：

    OD＝＝＝2，

    即：AD＝4+2＝6，

    ∴S△ABC＝BCAD＝×4×6＝12；

    （2）如图（2）：同理可求OD＝2，

    AD＝4﹣2＝2，

    ∴S△ABC＝BCAD＝×4×2＝4；

    故答案为：12或4．

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    （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时达到最大？最大高度是多少？

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    【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

    莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则．下面是该定理的证明过程（部分）：

    延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．

    ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

    ∴△MDI∽△ANI．∴，∴①

    如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

    ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°．

    ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

    ∴∠DBE=∠IFA．

    ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

    ∴△AIF∽△EDB．

    ∴，∴②

    任务：（1）观察发现：， （用含R，d的代数式表示）；

    （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．

    （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

    （4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．

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    【题目】如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC．

    （1）求证：AB＝AC；

    （2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG；

    （3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长．

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    【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．

    （1）请直接写出点C的坐标及k的值；

    （2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；

    （3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．

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    【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan∠CAB＝，AD＝AB，AH⊥BD于点H，连接CD交AH于点E，连接BE，BE＝，则BD的长为_____．

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    【题目】 问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A=∠DEB=30°，BC=BE=6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重台时，BH与AE的位置关系为______，BH与AE的数量关系为______；

    问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；

    拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

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