Question

【题目】如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC．

（1）求证：AB＝AC；

（2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG；

（3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由GA平分∠BGC可得∠AGB＝∠AGC，然后跟胡圆周角定理证明即可；

（2）设∠AGB＝∠AGC＝x，证得∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，则∠BGD＝∠BDG＝2x，可得出结论BD＝BG；

（3）延长GC，使CK＝BG＝16，连接AK．根据SAS证明△ABG≌△ACK，可得∠K＝∠AGB＝∠AGC，得出AG＝AK，过点A作AN⊥GK于点N，过点B作BH⊥DG于点H，设HD＝GH＝a，可得出DN＝NG﹣DG＝，证明△ADN∽△BDH，得出比例线段求出a＝6，求出AG的长，证明△AWD∽△BWG，得出，可求出WG．

（1）证明：∵GA平分∠BGC，

∴∠AGB＝∠AGC，

∴弧AB=弧AC，

∴AB＝AC；

（2）证明：设∠AGB＝∠AGC＝x，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠BAC＝180°﹣2x，

∵AD//BG，

∴∠AGB＝∠DAG，

∴∠AGD＝∠DAG＝x，

∴∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，

∵∠AWB＝∠AGB+∠DBG，

∴∠DBG＝180°﹣3x﹣x＝180°﹣4x，

∴∠BDG＝180°﹣2x﹣(180°﹣4x)＝2x，

∴∠BGD＝∠BDG＝2x，

∴BD＝BG；

（3）解：如图2，延长GC，使CK＝BG=BD＝16，连接AK．

∵AB＝AC，∠ACK＝∠ABG，

∴△ABG≌△ACK（SAS），

∴∠K＝∠AGB＝∠AGC＝x，

∴AG＝AK，

过点A作AN⊥GK于点N，过点B作BH⊥DG于点H，

设HD＝GH＝a，

∵CD＝5，

∴GK＝2a+5+16＝2a+21，

∵AG＝AK，AN⊥GK，

∴，

∴DN＝NG﹣DG＝，

∵∠AND＝∠BHD，∠ADC＝∠BGD＝∠BDH，

∴△ADN∽△BDH，

∴，

∵∠AGD＝∠DAG，

∴AD=GD＝2a，

∴，

∴a2+8a﹣84＝0，

解得a1＝6，a2＝﹣14（舍去），

∴AD＝12，

∴在Rt△AND中，，

在Rt△AGN中，AG＝=＝6，

∵AD//BG，

∴△AWD∽△BWG，

∴，

∴，

∴．