Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．

（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是　 ；

（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．

①在图2中，依据题意补全图形；

②求证：DF＝FG．

Answer 1

【答案】（1）BF＝FG；（2）①如图2所示，见解析；②见解析．

【解析】

（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF=45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB=45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．
（2）①画图2即可；
②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF=BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG=EG=BG=FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF=2∠BAC=90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．

（1）BF＝FG，

理由是：如图1，连接BG，CG，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，

∵EF⊥BC，FE＝FC，

∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，

∴∠ACE＝90°，

∵点G是AE的中点，

∴EG＝CG＝AG，

∵BG＝BG，

∴△AGB≌△CGB（SSS），

∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，

∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，

∴△EFG≌△CFG（SSS），

∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，

∵∠BFE＝90°，

∴∠BFG＝45°，

∴△BGF为等腰直角三角形，

∴BF＝FG．

故答案为：BF＝FG；

（2）①如图2所示，

②如图2，连接BF、BG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°，

∵AF＝AF，

∴△ADF≌△ABF（SAS），

∴DF＝BF，

∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，

∴AG＝EG＝BG＝FG，

∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，

∵，∠BAC＝45°，

∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BF＝FG，

∴DF＝FG．