[题目]定义:如果函数C:()的图象经过点(m.n).(-m.-n).那么我们称函数C为对称点函数.这对点叫做对称点函数的友好点．例如:函数经过点(1.2).(-1.-2).则函数是对称点函数.点(1.2).(-1.-2)叫做对称点函数的友好点．(1)填空:对称点函数一个友好点是(3.3).则b= .c= ,(2)对称点函数一个友好点是(2b.n).当2b≤x≤2时.此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．

例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．

（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b= ，c= ；

（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；

（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3）或

【解析】

（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；

（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；

（3）由推出，再根据“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2） A′（-4a，0），将（-4a，0）代得出，根据图象即可得出结论．

解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得

解得：b=1，c=9；

（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）

∴-n=4b2-4b2+c

∴c=-n

∴y=x2+2bx-n

把（2b，n）代入y=x2+2bx-n

n=4b2+4b2-n

∴n=4b2

∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2

当-b<2b即b>0时

∵抛物线开口向上

∴在对称轴右侧，y随x增大而增大

∴当x=2b时，y1=4b2

当x=2时，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4-4b2=4

∴-8b2+4b=0

∴b1=0（舍）b2=

当2<-b，即b<-2时

在对称轴左侧，y随x增大而减小

∴当x=2b时，y1=4b2

当x=2时，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴4b2+4b2-4b-4=4

∴8b2-4b-8=0

∴2b2-b-2=0

b=（舍）

当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2

当x=2时，y1=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4+5b2=4

∴b2+4b=0

∴b1=0，b2=-4（舍）

当x=2b时，y1=4b2

∵y1-y2=4

∴9b2=4

∴b=（舍）b=

∴b=0或b=或b= ；

（3）推出

“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2） A’（-4a，0）

将（-4a，0）代入

当a>0时当抛物线经过A′后有两个交点 ∴

当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点 ∴

综上：或．

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