【题目】 问题发现:如图(1)在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠A=∠DEB=30°,BC=BE=6,Rt△BDE绕点B逆时针旋转,H为CD的中点,当点C与点E重台时,BH与AE的位置关系为______,BH与AE的数量关系为______;
问题证明:在Rt△BDE绕点B旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请就图(2)的情形给出证明若不成立,请说明理由;
拓展应用:在Rt△BDE绕点B旋转的过程中,当DE∥BC时,请直接写出BH2的长.
【答案】问题发现:AE⊥BH,AE=2BH;问题证明:(1)中结论成立,证明详见解析;拓展应用:12+3
或12-3
【解析】
问题发现:如图1中,结论:AE=2BH,AE⊥BH.解直角三角形求出AC,BH即可判断.
问题证明:如图2中,(1)中结论成立.延长BH到F使得HF=BH,连接CF.设AE交BF于O.证明△ABE∽△BCF即可解决问题.
拓展应用:分两种情形:①如图3-1中,当DE在BC的下方时,延长AB交DE于F.②当DE在BC的上方时,利用上面结论求出AE2即可解决问题.
解:问题发现:如图1中,结论:AE=2BH,AE⊥BH.
理由:在Rt△ABC中,∵BC=6,∠A=30°,
∴AE=2BC=12,
在Rt△CDB中,∵∠DCB=30°,
∴CD==4
,
∵CH=DH,
∴BH=CD=2
,
∴=
=2
,
∴AE=2BH.
故答案为AE⊥BH,AE=2BH.
问题证明:如图2中,(1)中结论成立.
理由:延长BH到F使得HF=BH,连接CF.设AE交BF于O.
∵CH=DH,BH=HF,∠CHF=∠BHD,
∴△CHF≌△DHB(SAS),
∴BD=CF,∠F=∠DBH,
∴CF∥BD,
∵AB=BC,BE=
BD,
∴BE=CF,
∴=
=
,
∵CF∥BD,
∴∠BCF+∠CBD=180°,
∵∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=180°,
∴∠BCF=∠ABE,
∴△ABE∽△BCF,
∴∠CBF=∠BAE,=
=
,
∴AE=BF=2
BH,
∵∠CBF+∠ABF=90°,
∴∠ABF+∠BAE=90°,
∴∠AOB=90°,
∴BH⊥AE.
拓展应用:如图3-1中,当DE在BC的下方时,延长AB交DE于F.
∵DE∥BC
∴∠ABC=∠BFD=90°,
由题意BC=BE=6,AB=6,BD=2
,DE=4
,
∵BDBE=
DEBF,
∴BF==3,
∴EF=BF=3
,
∴AF=6+3,
∴AE2=AF2+EF2=(6+3)2+(3
)2=144+36
.
∵AE=2BH,
∴AE2=12BH2,
∴BH2=12+3
如图3-2中,当DE在BC的上方时,同法可得AF=6-3,EF=3
,
∴BH2==(
=12-3
.
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【题目】已知:如图1,抛物线的顶点为M:平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
(1)如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长;
(2)若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1,求m,n的值.
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【题目】某同学报名参加校运动会,有以下5个项目可供选择:径赛项目:100m,200m,分别用
、
、
表示
;田赛项目:跳远,跳高
分别用
、
表示
.
该同学从5个项目中任选一个,恰好是田赛项目的概率为______;
该同学从5个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CD是△ABC的中线,E是边BC上一动点,将△BED沿ED折叠,点B落在点F处,EF交线段CD于点G,当△DFG是直角三角形时,则CE=__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为
,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为 .
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【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
已知
是比例三角形,
,
,请直接写出所有满足条件的AC的长;
如图1,在四边形ABCD中,
,对角线BD平分
,
求证:
是比例三角形.
如图2,在
的条件下,当
时,求
的值.
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【题目】如图,以G(0,3)为圆心,半径为6的圆与x轴交于A.B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,点E在⊙G的运动过程中,线段FG的长度的最小值为( )
A.1B.2
-2C.3
D.3
3
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