Question

【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则．下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

∴△MDI∽△ANI．∴，∴①

如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°．

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA．

∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②

任务：（1）观察发现：， （用含R，d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．

Answer 1

【答案】（（1）R-d；（2）BD=ID，理由见解析；（3）见解析；（4）cm

【解析】

（1）直接观察可得；
（2）BD=ID，只要证明∠BID=∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；
（3）应用（1）（2）结论即可；
（4）直接代入计算．

（1）∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN=ON
∴IN=ON-OI=R-d
故答案为：R-d；
（2）BD=ID
理由如下：
如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI并延长交⊙O于D，连接MD，BI，BD，

∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴∠BID=∠DBI
∴BD=ID
（3）由（2）知：BD=ID
∴IAID=DEIF
∵DEIF=IMIN
∴2Rr=（R+d）（R-d）
∴R2-d2=2Rr
∴d2=R2-2Rr
（4）由（3）知：d2=R2-2Rr；将R=5，r=2代入得：
d2=52-2×5×2=5，
∵d＞0
∴d= .
故答案为：．