Question

8．如图1，点A，B都在线段EF上（点A在点E和点B之间），点M，N分别是线段EA，BF的中点．
（1）若EA：AB：BF=1：2：3，且EF=12cm，求线段MN的长；
（2）若MN=a，AB=b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图2，延长线段EF至点A₁，使FA₁=EA，请探究线段BA₁与EM+NF应满足的数量关系（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）设EA=xcm，则AB=2xcm，BF=3cm，EF=6xcm，根据点M，N分别是线段EA，BF的中点可得出MA=$\frac{1}{2}$xcm、BN=$\frac{3}{2}$xcm，将其代入MN=MA+AB+BN中可得出MN=4xcm，根据EF=6x=12可求出x值，将其代入MN=4x中可求出线段MN的长；
（2）由点M，N分别是线段EA，BF的中点可得出EM=MA、BN=NF，由线段间的关系可得出EM+NF=a-b，将其代入EF=EM+MN+NF中可得出线段EF的长；
（3）由点M，N分别是线段EA，BF的中点可得出EM=MA、BN=NF，结合FA₁=EA，即可得出BA₁=BF+EA=2（EM+NF），此题得解．

解答 解：（1）设EA=xcm，则AB=2xcm，BF=3cm，EF=6xcm．
∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，
∴EM=MA=$\frac{1}{2}$xcm，BN=NF=$\frac{3}{2}$xcm．
∵AB=2xcm，
∴MN=MA+AB+BN=4xcm．
∵EF=12cm，
∴6x=12，
解得：x=2，
∴MN=4x=8cm．
（2）∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，
∴EM=MA，BN=NF．
∵MN=a，AB=b，
∴MA+BN=MN-AB=a-b，
∴EM+NF=a-b，
∴EF=EM+MN+NF=a-b+a=2a-b．
（3）∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，
∴EA=2EM，BF=2NF．
∵FA₁=EA，
∴BA₁=BF+FA₁=BF+EA=2（EM+NF）．

点评 本题考查了两点间的距离、一元一次方程的应用以及线段的中点，解题的关键是：（1）根据线段间的关系找出MN=4xcm；（2）根据线段间的关系求出EM+NF=a-b；（3）根据线段中点的定义找出EA=2EM=FA₁、BF=2NF．