Question

（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，再利用角平分线定义得∠BAD=

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∠BAC=40°，然后计算出∠BAE=90°-∠B=55°，再利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可；
（2）、（3）作AH⊥BC于H，由（1）得∠DAH=15°，然后利用平行线的性质得到∠DFE=∠ADH=15°；
（4）回答∠BAC角平分线与BC边上的高线平行的直线的夹角为15°即可．

解答：解：（1）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

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∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=55°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
有（1）得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠ADH=15°；
（3）作AH⊥BC于H，如图③，
有（1）得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠ADH=15°；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC的角平分线与角平分线上的点作BC的垂线的夹角为15°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质．