Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8﹣4处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AD=AB，对角线平分一组对角可得∠DAQ=∠BAQ=45°，然后利用“边角边”证明△ADQ和△ABQ全等；

（2）分①AQ=DQ时，点B、P重合，②AQ=AD时，根据等边对等角可得∠ADQ=∠AQD，再求出正方形的对角线AC的长，再求出CQ，然后根根据两直线平行，内错角相等求出∠CPQ=∠ADQ，从而得到∠CQP=∠CPQ，根据等角对等边可得CP=CQ，从而得到点P的位置，③AD=DQ时，点C、P、Q三点重合．

（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，

都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，

在△ADQ和△ABQ中，，

∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，

则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；

②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴AC==4，

∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4，

∵AD∥BC，

∴∠CPQ=∠ADQ，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CP=CQ=4﹣4，

此时点P在距离点B：4﹣（4﹣4）=8﹣4；

③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；

综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8﹣4处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形．