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【题目】已知:如图1,等边OAB的边长为3,另一等腰OCAOAB有公共边OA,且OC=AC,C=120°.现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发,点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.请回答下列问题:

(1)在运动过程中,OPQ的面积记为S,请用含有时间t的式子表示S.

(2)在等边OAB的边上(点A除外),是否存在点D,使得OCD为等腰三角形?如果存在,这样的点D共有 个.

(3)如图2,现有MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将MCN绕着点C旋转,使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.

【答案】1S=﹣t2+t;24;(3)BMN的周长不发生变化理由见解析

【解析】

试题分析:(1)根据题意分别表示出QO,OP的长,进而得出S与t的关系式;

(2)如果OCD为等腰三角形,那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形.每一种情形,都有可能O为顶点,C为顶点,D为顶点,分别讨论,得出答案;

(3)如果延长BA至点F,使AF=OM,连接CF,则由SAS可证MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS证出MCN≌△FCN,得出MN=NF,进而求出BMN的周长.

解:(1)如图1,OC=ACACO=120°,

∴∠AOC=OAC=30°

∴∠POQ=90°

OQ=t,OP=3﹣3t.

SOPQ=OQ×OP=t×(3﹣3t)=﹣t2+t,

即S=﹣t2+t;

(2)如图2,(i)当D点在OA上,

①以D为顶点,D1C=OD1

②以O为顶点,OD2=OC,

(ii)当D点在OB上,

由于BOC=90°,因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形,

以O为顶点时,OD3=OC.

(iii)当D点在AB上时,

此时OD的最短距离为ODAB时,此时OD≠OC,不存在以O为顶点的等腰三角形;

当以C为顶点时,D点和A点重合,

当以D为顶点时,OD4=CD4

综上所述,这样的点D共有4个;

故答案为:4;

(3)BMN的周长不发生变化.理由如下:

延长BA至点F,使AF=OM,连接CF.(如图3)

∵∠MOC=FAC=90°,OC=AC,

MOCFAC

∴△MOC≌△FAC(SAS),

MC=CFMCO=FCA

∴∠FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60°

∴∠FCN=MCN

MCNFCN中,

∴△MCN≌△FCN(SAS),

MN=NF

BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6.

∴△BMN的周长不变,其周长为6.

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