【题目】已知:如图1,等边△OAB的边长为3,另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA,且OC=AC,∠C=120°.现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发,点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.请回答下列问题:
(1)在运动过程中,△OPQ的面积记为S,请用含有时间t的式子表示S.
(2)在等边△OAB的边上(点A除外),是否存在点D,使得△OCD为等腰三角形?如果存在,这样的点D共有 个.
(3)如图2,现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着点C旋转,使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)S=﹣t2+t;(2)4;(3)△BMN的周长不发生变化,理由见解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意分别表示出QO,OP的长,进而得出S与t的关系式;
(2)如果△OCD为等腰三角形,那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形.每一种情形,都有可能O为顶点,C为顶点,D为顶点,分别讨论,得出答案;
(3)如果延长BA至点F,使AF=OM,连接CF,则由SAS可证△MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS证出△MCN≌△FCN,得出MN=NF,进而求出△BMN的周长.
解:(1)如图1,∵OC=AC,∠ACO=120°,
∴∠AOC=∠OAC=30°.
∴∠POQ=90°,
∵OQ=t,OP=3﹣3t.
∴S△OPQ=OQ×OP=t×(3﹣3t)=﹣t2+t,
即S=﹣t2+t;
(2)如图2,(i)当D点在OA上,
①以D为顶点,D1C=OD1,
②以O为顶点,OD2=OC,
(ii)当D点在OB上,
由于∠BOC=90°,因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形,
以O为顶点时,OD3=OC.
(iii)当D点在AB上时,
此时OD的最短距离为OD⊥AB时,此时OD≠OC,不存在以O为顶点的等腰三角形;
当以C为顶点时,D点和A点重合,
当以D为顶点时,OD4=CD4,
综上所述,这样的点D共有4个;
故答案为:4;
(3)△BMN的周长不发生变化.理由如下:
延长BA至点F,使AF=OM,连接CF.(如图3)
又∵∠MOC=∠FAC=90°,OC=AC,
在△MOC和△FAC中
,
∴△MOC≌△FAC(SAS),
∴MC=CF,∠MCO=∠FCA.
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°,
∴∠FCN=∠MCN.
在△MCN和△FCN中,
,
∴△MCN≌△FCN(SAS),
∴MN=NF.
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6.
∴△BMN的周长不变,其周长为6.
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【题目】如图,函数y=的图象经过点A(1,﹣3),AB垂直x轴于点B,则下列说法正确的是( )
A.k=3
B.x<0时,y随x增大而增大
C.S△AOB=3
D.函数图象关于y轴对称
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【题目】如图,∠ABC=90°,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.
(1)求证:∠FMC=∠FCM;
(2)AD与MC垂直吗?并说明理由.
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【题目】指出下列命题的条件和结论.
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
(2)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3.
(3)锐角小于它的余角.
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P 运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 相等的角是对顶角
C. 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
D. 在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行
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