Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC内一点，且CP=1，BP=

2

，AP=2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，下列结论：①点A与D的距离为

2

；②AP⊥PC；③AB=2

2

；④S_△APB=1，其中正确的结论是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△ACD≌△BCP，得到AD=PB=

2

，故①正确；证明A、D、C、B四点共圆，得到∠ADB═90°，进而证明∠APD=45°，结合∠DPC=45°，得到②正确；运用三角形的面积公式可以判断③不正确、④正确，即可解决问题．

解答：解：如图，连接AD；
∵∠DCP=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCP；在△ACD与△BCP中，

DC=PC ∠ACD=∠BCP AC=BC

，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB=

2

，故①正确；
∵△ACD≌△BCP，
∴∠DAC=∠CBD，
∴A、D、C、B四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB=90°；
∵∠DCP=90°，且DC=PC=1，
∴DP²=1²+1²，DP=

2

；而AD=

2

，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，而∠DPC=45°，
∴∠APC=90°，即AP⊥CP，故②正确；
∵BD=BP+PD=2

2

，AD=

2

，
∴③不正确，S△ADB=

1

2

×2

2

×

2

=2，
∴S_△ABP=1，故④正确，
故答案为D

点评：该题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点；作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．