Question

14．已知二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1），与x轴的另一个交点为C．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当△ABC面积等于$\frac{3}{2}$时，求△ABM的面积．

Answer 1

分析 （1）将A、B代入抛物线的解析式中，可得出a、b的关系式，然后用a表示出抛物线的解析式．根据图象首先肯定的是抛物线的开口向下，因此a＜0，由于抛物线顶点在第二象限即抛物线对称轴在y轴左侧，根据抛物线的对称性可知：A点关于抛物线的对称点必在（-1，0）的左侧，因此当x=-1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围；
（2）根据抛物线的解析式（只含a一个待定系数的函数式）表示出顶点M和C点的坐标，然后根据题中给出的面积的等量关系式，可求出a的值，根据面积的和差，可得答案．

解答 解：（1）∵顶点M在第二象限，且经过点A（1，0），B（0，1）
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，把A、B代入抛物线的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，整理得b=-a-1，c=1，
∴抛物线的解析式为y=ax²-（a+1）x+1  ①，
∵顶点M在第二象限，
∴$\frac{a+1}{2a}$＜0，由于a＜0，
∴a+1＞0，-1＜a＜0；
（2）作MD⊥X轴于D点，
∵S_△ABC=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{2}$AC×1=$\frac{3}{2}$，
∴AC=3，
∴点C的坐标为（-2，0），把点C的坐标代入①，得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$²-$\frac{1}{2}$x-1=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{5}{4}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
S_△ABM=S_AOB+S_梯形BMDO-S_△ADM=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{5}{4}$）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查了抛物线的性质，利用了二次函数的性质，图形面积的求法等知识点，解题的关键是图形的割补法．