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【题目】如图1,在ABCDAB=6B= (60°<≤90°). EBC上,连接AE,把ABE沿AE折叠,使点BAD上的点F重合,连接EF.

(1)求证:四边形ABEF是菱形;

(2)如图2,点MBC上的动点,连接AM,把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN,连接FN,求FN的最小值(用含的代数式表示).

【答案】(1)详见解析;(2)FE·sin( 90°)

【解析】

(1)由四边形ABCD是平行四边形得AFBE,所以∠FAE=BEA,由折叠的性质得∠BAE=FAE,∠BEA=FEA,所以∠BAE=FEA,故有ABFE,因此四边形ABEF是平行四边形,又BE=EF,因此可得结论;

(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG90° ,利用菱形的性质得到∠FEN 90°,再根据垂线段最短,求出FN的最小值即可.

1)∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC

∴∠FAE=BEA

由折叠的性质得∠BAE=FAE,∠BEA=FEA, BE=EF

∴∠BAE=FEA

ABFE

∴四边形ABEF是平行四边形,

BE=EF

∴四边形ABEF是菱形;

2)①如图1,当点M在线段BE上时,在射线MC上取点G,使MGAB,连接GNEN.

∵∠AMN=∠B,∠AMN+2=∠1+B

∴∠1=∠2

AMNMABMG

∴△ABM≌△MGN

∴∠B=∠3NGBM

MGABBE

EGABNG

∴∠4=ENG= (180°)90°

又在菱形ABEF中,ABEF

∴∠FEC=∠B=

∴∠FEN=∠FEC-∠4= (90° ) 90°

②如图2,当点M在线段EC上时,在BC延长线上截取MGAB,连接GNEN.

同理可得:∠FEN=∠FEC-∠4= (90° ) 90°

综上所述,∠FEN 90°

∴当点MBC上运动时,点N在射线EH上运动(如图3)

FNEH时,FN最小,其最小值为FE·sin( 90°)

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