Question

3．已知：AB∥CD，平面内有一点E，连接AE、CE
（1）如图1，求证：∠E=∠A+∠C；
（2）如图2，CD上有一点F，连接AF、EF，若∠FAE=∠FEA，∠EFD=2∠C，求证：∠AFC=2∠AEC；
（3）如图3，在（2）的条件下，平面内有一点G，连接AG、CG，若∠GCE与∠GAE互为补角，5∠AFC=2∠G，求∠G的度数．

Answer 1

分析 （1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质，即可得出∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，进而得到∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C；
（2）设∠BAE=α，∠DCE=β，由（1）可得，∠AEC=∠BAE+∠C=α+β，根据角的和差关系可得，∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2（α+β），最后根据∠AFC=∠BAF=2（α+β），可得∠AFC=2∠AEC；
（3）设∠G=α，根据5∠AFC=2∠G，可得∠AFC=$\frac{2}{5}$α，再根据∠AFC=2∠AEC，可得∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AFC=$\frac{1}{5}$α，最后根据四边形AECG中，∠GCE与∠GAE互为补角，可得∠G+∠AEC=180°，据此可得方程α+$\frac{1}{5}$α=180°，求得∠G的度数为150°．

解答 解：（1）如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C；

（2）设∠BAE=α，∠DCE=β，则
由（1）可得，∠AEC=∠BAE+∠C=α+β，
∵∠EFD=2∠C，∠EFD=∠C+∠CEF，
∴∠C=∠CEF=β，
∴∠AEF=α+2β，
又∵∠FAE=∠FEA，
∴∠FAE=α+2β，
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2（α+β），
又∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠BAF=2（α+β），
∴∠AFC=2∠AEC；

（3）设∠G=α，
根据5∠AFC=2∠G，可得∠AFC=$\frac{2}{5}$α，
又∵∠AFC=2∠AEC，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AFC=$\frac{1}{5}$α，
∵四边形AECG中，∠GCE与∠GAE互为补角，
∴∠G+∠AEC=180°，
即α+$\frac{1}{5}$α=180°，
∴α=150°，
即∠G的度数为150°．

点评 本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．解题时注意方程思想的运用．