Question

4．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=$\sqrt{2}$r，则可得方程r+$\sqrt{2}$r=10$\sqrt{2}$，继而求得答案．

解答 （1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE=OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∴OF=OE=OA，
即：CD是⊙O的切线．

（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∵OE⊥BC，
∴OE=EC，
设OA=r，则OE=EC=r，
∴OC=$\sqrt{O{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∵OA+OC=AC，
∴r+$\sqrt{2}$r=10$\sqrt{2}$，
解得：r=20-10$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径为：20-10$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．