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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°.

(1)用圆规和直尺在AC上作点P,使点PA、B的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2)当满足(1)的点PAB、BC的距离相等时,求∠A的度数.

【答案】(1)图形见解析(2)30°

【解析】试题分析:(1)画出线段AB的垂直平分线,交AC于点P,点P即为所求;
(2)由点PAB、BC的距离相等可得出PC=PD,结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP(HL),根据全等三角形的性质可得出BC=BD,结合AB=2BD及∠C=90°,即可求出∠A的度数.

试题解析:

(1)依照题意,画出图形,如图所示.

(2)∵点P到AB、BC的距离相等,

∴PC=PD.

Rt△BCP和Rt△BDP中,

∴Rt△BCP≌Rt△BDP(HL),

∴BC=BD.

PD垂直平分AB,

∴AD=2BD=2BC.

Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,

∴∠A=30°.

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(2)探究发现:
①假设P与点D重合,则PB+PC=;(直接填写答案)
②试判断:对于任意一点P,PB+PC的值是否为定值?并说明理由;
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