Question

【题目】（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=-+8；

（2）正确，理由参见解析；

（3）“好点”11个，△PDE的周长最小时“好点”的坐标（-4,6）.

【解析】

试题分析：（1）因为抛物线对称轴是y轴，所以根据A,C点坐标即可写出解析式.（2）把任意一点P的坐标表示出来，并表示出PD,PF的长，用PD-PF验证；（3）先求出使△PDE的周长最小的点P的坐标，∵DE是定值，考虑PE与PD的和最小，由上题得出的结论转化成PE与PF的关系进而得出使△PDE的周长最小的点P点坐标；想找到“好点”的个数，先把三角形PDE的面积表示出来，用梯形面积减去两个直角三角形的面积，由x的取值范围确定S的整数值有几个，再加上前面的使△PDE的周长最小的一个点，就知道一共“好点”的个数.

试题解析：（1）设y=a+8，将A（-8,0）代入，a=-,∴y=-+8；

（2）设P（x,-+8）,则PF=8－（-+8）=,过P作PM⊥y轴于M，

则==，

∴PD=+2，∴PD-PF=+2－=2，∴猜想正确.

（3）①在P点运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD-PF=2，∴PD=PF＋2，∴PE＋PD=PE＋PF＋2，当P,E,F三点共线时，PE＋PF最小，此时，点P,E横坐标都为-4，将x=-4代入y=-+8，得y=6,∴P（-4,6）,此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标（-4,6）.②作PH⊥AO于H,△PDE的面积S=梯形PHOD面积减去两个直角三角形△PHE,△DEO的面积=-－3x＋4=－+13，由-8≤x≤0知4≤S≤13，∴S的整数点有10个，当S=12时，对应的“好点”有1个，所以“好点”共有11个.